rid A of B は「BのないAにする」という意味。
get rid of A〜 「Aを取り除く」という熟語は有名。好ましくないものを取り除く意味があり、「解雇する」という意味でも使われる。冷淡なイメージがある言葉。
一方、冒頭のrid A of B は、「Bを取り除いてAをきれいにする」という意味。そもそもridは他動詞で、「取り除いて〜をきれいにする」という意味。語源は「土地をきれいにする」「開墾する」に由来する。ridはredの親戚で、雑草やら石やらを取り除いてきれいな赤土の畑を作るということがridという動詞につながったと思われる。
ためしに”rid my garden of weeds”とGoogle検索してみたら、2680件がヒットした。”get rid of weeds”では単純に「雑草を抜く」となる。
TIMEの記事にはこんな生きた文も。
Activists are attempting to rid the island of Anglesey of single-use plastic bottles, cutlery and straws to make the entire district plastic-free.
（訳例）活動家たちは、使い捨てのプラ容器や食器、ストローがないアングルシー島にしようと奮闘している。地域全体で脱プラをやってのけたいのだ。
ridは「redな土」つまり「きれいな土」「土をきれいにする」と原義さえ覚えておけば、rid A of Bが「Bを取り除いてAをきれいにする」、get rid of Aが「Aを取り除いてきれいな土を得る（比喩）＝Aを取り除く」という意味に整理できる。ofはoffから派生し、ポンと飛び出すイメージがあるので、除外・排除の動詞とともに使われることが多い。